La Política

Pues no lo sé, como has visto yo mismo estoy un poco confundido, no entiendo cómo lo ha hecho. De todos modos el análisis energético nos permite ir bastante lejos. Veamos.


Vamos a poner el cero de altura cuando la bola se encuentra en su punto más bajo. A la velocidad que la bola tiene en ese momento, la llamaremos v0 (lo habitual sería poner el cero como subíndice). Esta velocidad será la máxima de nuestra bola, pues estando en su punto más bajo, a medida que gana altura aumentará su energía potencial a costa de perder energía cinética.

En este momento, la energía total de la bola sera la suma de la energía potencial:

mgh

Y la energía cinética:

(1/2)m(v0)²

o sea, mgh + (1/2)m(v0)², pero como habíamos puesto el cero de altura justo en este momento, nuestro h vale cero, y por tanto la energía es (1/2)m(v0)²

Y como la energía se conserva, esa energía será la que va a tener siempre. Pero la altura no será cero siempre, en general, nuestra bola tendrá una energía potencial de:

mgh

y una cinética de:

(1/2)mv²

así que mgh + (1/2)mv² tendrá que ser igual que (1/2)m(v0)²:

mgh + (1/2)mv²=(1/2)m(v0)²

gh + (1/2)v²=(1/2)(v0)²

Y ahí tienes la fórmula que relaciona la altura, la velocidad, y la velocidad máxima.

Si divides todo entre l², donde l es la longitud del péndulo, podrás convertir las velocidades y la altura en velocidades angulares y ángulos, y quedará la fórmula un poco más elegante. Pero no se si has estudiado estas cosas. De todos modos son sencillas.

Cuando acabes de estudiar el movimiento armónico simple (m.a.s.), sería interesante volver al pendulo, pues un pendulo que oscila con ángulos muy pequeños se comporta casi igual que un m.a.s. y esto sí estaría perfectamente a tu alcance.

Eso sí lo he estudiado y lo sé hacer perfectamente, pero gracias. La cosa que me había impuesto con ese problema era llegar a esas conclusiones utilizando sólo cinemática.

Es posible que conforme se me vayan presentando problemas más complicados con el m.a.s. (m.h.s. en catalán) también los vaya trayendo aquí, ya que es la parte con mayor complejidad matemática que me he encontrado en la física que he hecho hasta ahora. Pero tal vez tarde un poco porque antes de avanzar con el m.a.s. (que es posible que ni salga en el examen) quiero acabar de pulir el tema de la energía eléctrica y los circuitos eléctricos. Así que hasta la semana que viene no creo que moleste más.

Exacto. Un comentario, v = 0 cuando h es máxima. Por tanto, para obtener la altura máxima, basta con la fórmula que he escrito:

gh =(1/2)(v0)²

Otro comentario: prefiero no llamar v0 a la velocidad máxima, ya que no es la situación inicial. En general, la situación inicial es cuando soltamos el péndulo, a la altura máxima. Por eso yo he llamado v0 y Theta0 a ESA situación inicial. Preferiría que en vez de v0 escribieras vmax:

gh =(1/2)(vmax)²

En cuanto a la integral, creo que lo único que debería estar claro es que el análisis cinemático sólo se puede hacer con cálculo (y con ecuaciones diferenciales). Esto ocurre siempre que la aceleración o la velocidad cambian de forma continua y es imposible hablar de aceleraciones medias o velocidades medias; el álgebra no es suficiente. Esto era el problema con el análisis cinemático inicial de Noel.

La integral que he hecho es muy sencilla, pero no sé a qué nivel estamos hablando. Esta integral, en un curso de introducción a la física para físicos (primer año de carrera), sería normal.

Toda ecuación diferencial, es decir, una ecuación que contiene derivadas de una o más variables además de las propias variables, lo que pide es SER INTEGRADA. Porque la manera de "despejar" la incógnita de la ecuación diferencial es integrarla. Ahora bien, son muy pocas las ecuaciones diferenciales que se pueden integrar directamente. Por ello, en ecuaciones diferenciales se estudian multitud de métodos indirectos de resolución, en los que no es obvio que estamos integrando (aunque siempre lo hacemos de una forma u otra).

En el caso que he planteado, por fortuna, dicha integración es directa. La ecuación inicial era:

Aceleración angular = Segunda derivada de Theta en el tiempo = - (g / L) x sen Theta

(lo cual se puede deducir por trigonometría, ya que la aceleración tangencial es una componente de g, la aceleración de la gravedad, pero la componente tangencial a la trayectoria, y la L que divide nos permite convertir tangencial en angular).

Ahora integramos ambos lados desde Theta0 hasta ThetaF )antes la llamé Theta para simplificar, pero hagámoslo bien, con Theta como variable de integración y ThetaF como valor final:

Integral desde Theta0 hasta ThetaF (segunda derivada de Theta en el tiempo) x d Theta = Integral desde Theta0 hasta Theta (- (g / L) x sen Theta) x d Theta

Como la integral es la función inversa de la derivada:

primera derivada de Theta en el tiempo (evaluada en ThetaF) - primera derivada de Theta en el tiempo (evaluada en Theta0) = (g / L ) x cos ThetaF - (g / L ) x cos Theta0 = (g / L) x ( cos ThetaF - cos Theta0).

Ésta es la fórmula que había derivado (bueno, que derivaron los de Wikipedia). Luego sólo he hecho ThetaF = 0 grados (punto mínimo del péndulo) y como el cos 0 grados = 1. Si observamos también que la primera derivada de Theta evaluada en Theta0 es cero (es la velocidad que tiene el péndulo en su punto máximo) :

primera derivada de Theta en el tiempo (evaluada en ThetaF) = (g / L ) x (1 - cos Theta0)

La integral de la derecha es sencillísima, ya que la integral del seno es menos coseno, y como es una integral de Theta0 hasta ThetaF, se evalúa en ambos puntos.

Lamento la horrible simbología, si tuviéramos signos matemáticos se vería mejor. Pero espero que la derivación haya quedado más clara.

Queda muchísimo más claro. G y l se tienen que tener en cuenta como si fuesen números dentro de la ecuación a la hora de integrar. Lo que pasa es que antes (en el anterior mensaje) ponías a estos con raíz(2g/l).

Y es que lo correcto es raíz(2g/l) porque de lo contrario la fórmula final no encaja (saldría h = v / 2g cuando en realidad es h = v² / 2g).

Así que me temo que te toca repasar lo que has escrito. Me parece a mí que esta integral no va a ser tan directa...

Parece como si a g/l la integrases aisladamente como si fuese una única incógnita y en vez de sumarle 1 al exponente y dividir la incógnita por ese resultado, le sumases 1/2 al exponente.

g y L son constantes, en efecto.

En cuanto a la derivación, creo que está bien, lo que falta es el álgebra, pero lo miro. Me voy a ausentar hasta el lunes por la noche.

Es una lástima que hayas tardado tanto en ponerte a estudiar. Creo que tienes un enorme potencial. Y, por supuesto, lo tuyo no son molestias, es un placer intentar contribuir a desarrollarlo.

El m.h.s. puede resultar un poco extraño al principio, la forma de derivar algunas ecuaciones es relativamente original, pero luego es sencillo. No creo que vayas a tener mayor problema con él.

Muchas gracias Evocid, la verdad es que me ha cogido tu comentario de improvisto. Hoy es un buen día: ha venido faena y ha salido bien, esta noche también hay faena, tu haces ese comentario tonificante y en el nuevo cómic de Lex Luthor éste se ha transformado en un dios ultra-poderoso a través de su inteligencia y clarividencia.

Juer, Noel, se ve que vales, mucho ánimo en tus estudios

Y es fascinante leeros, a veces me pierdo en cosas, pero creo que en general, os sigo. Excelente hilo. Muchas gracias

Me gustaría que me explicaseis cómo pasar a m.a.s. el péndulo del ejercicio sin utilizar nada del tema de energía y trabajo y solo con los datos que nos dan al principio (r=2m y vmax=5m/s).

Vale, ya está, creo que ya lo hice.

y = 0,72pi · sen(0,7pi·t + pi/2) metros


Procedimiento:

Alfa = ángulo desde el cual se deja caer el péndulo
r = cuerda péndulo = 2
A = Alfa · r

Ahora las ecuaciones de m.a.s.:

y = A · sen(w·t + Beta)

v = dy/dt
v = A·w · cos(w·t + Beta)

Sabemos que cuando t=0 entonces v=0. Por lo tanto, el valor Beta tiene que dar 90 grados (cos(90)=0). 90 grados en radianes es pi/2. Por lo que:

Beta = pi/2

Ahora pensemos en cómo descubrir un poco más a w. La velocidad máxima nos la dice (vmax = 5m/s). Con la ecuación de la velocidad, también podemos decir que la velocidad máxima será igual a A (ya que será cuando cos(0)=1):

5 = A · w
Recordemos que al principio ya hemos dicho que conocemos A (A=Alfa·r=2Alfa)..
5 = 2Alfa ·w
w= 2,5/alfa

Ya hemos despejado A, w y Beta. Pero ahora nos falta saber Alfa, el ángulo desde el cual dejamos caer el péndulo. Para eso, recurriremos a la ecuación de la aceleración y recurriremos a la aceleración máxima, que también la sabemos gracias a las leyes de la dinámica:

La ecuación de la aceleración es la segunda derivada de la de y (o la derivada de v):

a = A · w² · sen(w·t + Beta)

Puesto que calculamos la máxima, igualamos sen(w·t + Beta)=1:

a = A · w²

Despejamos incógnitas:

a = 2Alfa · 2,5²/Alfa²
a = 12,5/Alfa

Ahora busquemos la aceleración máxima (cuando el péndulo está a más altura, que es la misma que cuando se deja caer) mediante dinámica:

a = g · sin(Alfaº)

Ahora igualamos:

9,8 · sin(Alfaº) = 12,5/Alfa

Ahora hay que tener en cuenta otra cosa. Para los ángulos menores de 30º, se puede aplicar la norma de que el seno de dicho grado es igual al valor de ese grado en redianes. Alfaº, el que hemos encontrado a través de la dinámica, está en grados. Por el contrario, Alfa está en radianes. Por eso, podemos entender (con un margen de error de entre el 0% y el 2% aproximadamente) que sen(Alfaº)=Alfa.

Por lo tanto:

Alfa² = 12,5/9,8
Alfa = 1,13

Y ahora a ponerlo bonito:

Alfa = 0,36 · pi

Y ahora definitivamente bonito:

y = 0,72pi · sen(0,7pi·t + pi/2) metros


El tema está en que creo que está mal porque el ángulo que me sale es muy grande. ¿¿¿Dónde fallé???