La Política

USUARIO BORRADO

El "axioma" puede verse desde diferentes puntos de vista. Uno de ellos es el que tu mencionas, el de una verdad que nos resulta tan evidente que no hay ningún riesgo en asumirlo como cierto. Desde ese punto de vista, cabe la posibilidad de que el axioma sea incorrecto y nos hallamos precipitado al adoptarlo. Ejemplo característico (y el único que soy ahora capaz de recordar dentro de la matemática antes de Gödel) de esto es precisamente el quinto postulado de Euclides, el que dice que desde un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo una recta paralela a ella. Más tarde se demostró que podrían desarrollarse geometrías diferentes a la ordinaria simplemente negando tal axioma.

Desde otro punto de vista, el axioma es algo de lo que se parte, sin necesidad de asumir que sea una verdad revelada ni nada por el estilo. Entonces, lo que se pueda deducir de él, estará siempre pendiente de que recordemos bajo qué condiciones es válido, esto es, la aceptación del axioma. Por seguir el mismo ejemplo, el quinto postulado de Euclides puede ser perfectamente adoptado siempre que tengamos en cuenta que estaremos moviéndonos exclusivamente dentro del terreno de las geometrías euclídeas.

Mi opinión es que, en general, no corremos ningun riesgo al adoptar como axiomas los postulados básicos de las matemáticas y de la lógica. En física, en cambio, ningún postulado es definitivo, todo son hipótesis susceptibles de refutación y, de hecho, si no fueran susceptibles de refutación no se podrían llamar hipótesis científicas. Es lo que Popper llamó "criterio de falsabilidad" y es adoptado, casi con generalidad, por todos los científicos que se preocupan por estos temas.

Dicho de otro modo:

Un "científico" que hablando de ciencia diga que su planteamiento es irrefutable es probablemente un farsante. No creo que encuentres muchos de ellos fuera de las pseudociencias.

Da la casualidad de que precisamente ahora estoy leyendo a Popper, así que si os interesa puedo profundizar en el tema del "criterio de falsabilidad".

USUARIO BORRADO

Los axiomas pretendían ser verdades "evidentes en sí mismas". A partir de lo que comenta Evocid, las geometrías no euclidianas, es evidente que los axiomas no son evidentes, si se me perdona la redundancia. No existen verdades evidentes en sí mismas; todo sistema axiomático está basado en un conjunto de reglas que convenimos, pero cuya verdad nos es imposible argumentar.

Los axiomas serían como los peldaños de una escalera, indispensables para llevar al siguiente peldaño pero totalmente descartables una vez conseguida la ascensión.

Y no importa para nada que en el peldaño catorce se demuestre que el peldaño uno era falso, pues sin el peldaño uno, no existiría, o no habriamos podido alcanzar el peldaño catorce.

No, Francisco, no. TODOS los peldaños son importantes. La progresión de los resultados matemáticos no es secuencial (es decir, el peldaño 14 no se obtiene necesariamente del 13, sino que puede obtenerse de cualquier combinación de los trece peldaños anteriores). Por ejemplo, en análisis matemático se recurre una y otra vez al llamado "axioma de elección" en cientos (si no miles) de demostraciones, a pesar de que dicho peldaño está entre los primeros, en los fundamentos de la teoría (hay matemáticos que no reconocen la verdad del axioma de elección, pero eso es otro cantar).

Tampoco es cierto que si se demuestra la falsedad del peldaño uno no pasa nada. Por el contrario, pasa TODO: la teoría se derrumbaría y habría que empezar de nuevo. Las teorías tienen que ser CONSISTENTES, y sus valores de verdad no pueden cambiar en el tiempo. El teorema fundamental de la aritmética está demostrado de una vez y para siempre, y los axiomas de Zermelo-Fraenkel son verdaderos siempre que uno aborda la aritmética.

En realidad, no se puede demostrar la falsedad de un axioma (el peldaño uno), ya que precisamente su verdad se establece de forma convencional, se ACEPTA sin más. Lo que sí puede pasar es que los axiomas sean inconsistentes entre sí (que pueda demostrarse al mismo tiempo A y no(A) dentro del sistema).

Siguiendo con el tema, está claro para mí que el término "verdad" tiene significados distintos en matemáticas y en las ciencias naturales. En el segundo caso, como indica Evocid, hablamos siempre de verdades tentativas, porque es imposible estar seguros de la verdad de una teoría (sólo podemos saber si es falsa). La matemática ha aspirado siempre a verdades intemporales y absolutas, pero también en este caso existen problemas, si bien de otra índole.

Evocid lo ha comentado: la geometría de Euclides no es necesariamente verdadera. Hay geometrías en las que por un punto dado se pueden trazar infinitas o ninguna paralela a una recta dada (en la euclidiana sólo se puede trazar una). Incluso "verdades" como que uno más uno es igual a dos pueden ser atacables en ciertos contextos (dos gotas de agua pueden unirse dando lugar a una sola gota: 1+1=1; de forma menos evidente, la aritmética modular (módulo dos) lleva a que 1+1 sea cero).

¿Qué es entonces la verdad matemática? ¿Es simplemente la matemática un juego convencional de acuerdo a ciertas reglas, como pensaba Hilbert? ¿Existen verdades matemáticas absolutas en un mundo platónico? ¿O bien es la matemática un reflejo del mundo real, y por tanto una de las ciencias naturales, con todo lo que esto implica en términos de su falsabilidad? No es fácil contestar estas cuestiones, y diversos matemáticos tienen posturas distintas al respecto. Ya he mencionado a Hilbert; Penrose y Thom son en muchos sentidos platonistas, mientras que los matemáticos constructivistas se inclinan más por el realismo.

Por cierto, recomiendo encarecidamente el libro "Gödel para todos", escrito por Guillermo Martínez y Gustavo Piñeiro, el primero el escritor-matemático que también pergeñó "Los crímenes de Oxford". Es la mejor explicación de los teoremas de Gödel que he leído jamás, y tiene el enorme mérito de acotar la discusión filosófica al respecto de los teoremas

Yo decía mas que eso. Te decía que eran imprescindibles, en según que momento. Pero cuando se llegue a la verdad, esa a la que todavía no se ha llegado, el camino ya no importará, es mas desde ese lugar lo mas seguro es que se vea como hay varios caminos que llegan a ella. (Algunos hasta dicen que todos lo caminos llevan a Roma!)

Supongo que como siempre me he expresado mal. Lo que intentaba decir es que cada axioma sería como un mundo en si mismo. Una verdad absoluta, de esas en la que todos nosotros creemos o necesitamos creer.

Así en un momento dado, el axioma "correcto" y "verdadero" era que la tierra era plana y centro del universo. Sin esa "verdad" no se hubiera podido, quizá, avanzar lo suficiente para descubrir que era redonda, pues descubrirlo de entrada o antes de tiempo, nos hubiera asustado tanto que nos hubiera paralizado de miedo.

Creo que no estamos preparados en cualquier momento para cierta verdad. La verdad solo nos llega cuando estamos preparados para recibirla. Yo creo que es un acierto de Dios que así sea.

Claro que yo respeto que cada cual pueda creer lo que mas le apetezca!

Francisco, tu respuesta me ha recordado mucho el final de el Tratactus de Wittgenstein:


Aunque supongo que el sentido será distinto. Esta noche escribiré la explicación que debo a Na'vi.

Qué bonito a la par que acongojante lo que os estoy leyendo, que hasta me entran ganas de llorar